求 P:Q 的数值,其中 P=(xmxn)m+n−l×(xnxl)n+l−m×(xlxm)l+m−n 且 Q=(x1/(a−b))1/(a−c)×(x1/(b−c))1/(b−a)×(x1/(c−a))1/(c−b)
其中 a,b,c 互不相同。A. 1:2
B. 2:1
C. 1:1
D. 以上都不是
已知
P=(xmxn)m+n−l×(xnxl)n+l−m×(xlxm)l+m−n 且
Q=(x1/(a−b))1/(a−c)×(x1/(b−c))1/(b−a)×(x1/(c−a))1/(c−b)
要求
我们必须找到 P:Q 的数值。
解答
我们知道,
aman=am−n
am×an=am+n
因此,
P=(xmxn)m+n−l×(xnxl)n+l−m×(xlxm)l+m−n=(xm−n)m+n−l×(xn−l)n+l−m×(xl−m)l+m−n
=(x)(m−n)×(m+n−l)×x(n−l)×(n+l−m)×x(l−m)×(l+m−n)
=(x)(m2+mn−ml−mn−n2+nl)+(n2+nl−mn−nl−l2+ml)+(l2+ml−nl−ml−m2+mn)
=(x)0
=1
Q=(x1/(a−b))1/(a−c)×(x1/(b−c))1/(b−a)×(x1/(c−a))1/(c−b)
=(x)1/(a−b)×1/(a−c)×(x)1/(b−c)×1/(b−a)×(x)1/(c−a)×1/(c−b)
=(x)1(a−b)×(a−c)+1(b−c)×(b−a)+1(c−a)×(c−b)
=(x)(b−c)(a−b)×(a−c)×(b−c)+(c−a)(b−c)×(b−a)×(c−a)+(a−b)(c−a)×(c−b)×(a−b)
=(x)b−c+c−a+a−b(a−b)×(a−c)×(b−c)
=(x)0(a−b)×(a−c)×(b−c)
=x0
=1
因此,
P:Q=1:1。
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