证明：$\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^{m} \times\left(a-\frac{1}{b}\right)^{n}}{\left(b+\frac{1}{a}\right)^{m} \times\left(b-\frac{1}{a}\right)^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$

已知

$\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^{m} \times\left(a-\frac{1}{b}\right)^{n}}{\left(b+\frac{1}{a}\right)^{m} \times\left(b-\frac{1}{a}\right)^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$

要求：

我们需要证明$\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^{m} \times\left(a-\frac{1}{b}\right)^{n}}{\left(b+\frac{1}{a}\right)^{m} \times\left(b-\frac{1}{a}\right)^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$.

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{mn}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此：

左边 =$\frac{(a+\frac{1}{b})^{m} \times (a-\frac{1}{b})^{n}}{(b+\frac{1}{a})^{m} \times (b-\frac{1}{a})^{n}}$

$=\frac{(\frac{ab+1}{b})^{m} \times (\frac{ab-1}{b})^{n}}{(\frac{ab+1}{a})^{m} \times (\frac{ab-1}{a})^{n}}$

$=\frac{\frac{(ab+1)^{m} \times(ab-1)^{n}}{b^{m} \times b^{n}}}{\frac{(ab+1)^{m}}{a^{m}} \times \frac{(ab-1)^{n}}{a^{n}}}$

$=\frac{(ab+1)^{m}(ab-1)^{n} \times a^{m} \times a^{n}}{b^{m} \times b^{n}(ab+1)^{m}(ab-1)^{n}}$

$=\frac{a^{m} \times a^{n}}{b^{m} \times b^{n}}$

$=\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}$

$=(\frac{a}{b})^{m+n}$

= 右边

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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