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法律求下列乘积
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$
已知
给定的表达式为 $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$
求解
我们需要求出给定表达式的乘积。
解法
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$
$1-\frac{1}{2} = \frac{2\times 1 - 1}{2} = \frac{1}{2}$
$1-\frac{1}{3} = \frac{3\times 1 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$1-\frac{1}{4} = \frac{4\times 1 - 1}{4} = \frac{3}{4}$
类似地，
$1-\frac{1}{9} = \frac{9\times 1 - 1}{9} = \frac{8}{9}$
$1-\frac{1}{10} = \frac{10\times 1 - 1}{10} = \frac{9}{10}$
所以， $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10}) = (\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) \ldots(\frac{8}{9})(\frac{9}{10})$
在 $ (\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) \ldots(\frac{8}{9})(\frac{9}{10})$ 中，除了第一项的分子和最后一项的分母外，其他数字都被抵消了。
因此， $(\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) \ldots(\frac{8}{9})(\frac{9}{10}) =\frac{1}{10}$
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$ 的乘积是 $\frac{1}{10}$
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