如果点 $A( -2,\ 1) ,\ B( a,\ b)$ 和 $C( 4,\ -1)$ 共线，且 $a-b=1$，求 $a$ 和 $b$ 的值。

已知：点 $A( -2.\ 1) ,\ B( a,\ b)$ 和 $C( 4,\ -1)$ 共线，且 $a-b\ =1$

要求：求 $a$ 和 $b$ 的值。

已知点为 $A ( -2,\ 1),\ B ( a,\ b)$ 和 $C( 4,\ -1)$。由于给定点共线，因此三角形 ABC 的面积为 0。

我们知道，顶点为 $( x_{1} ,\ y_{1}) ,\ ( x_{2} ,\ y_{2})$ 和 $( x_{3} ,\ y_{3} )$ 的三角形的面积为

$\frac{1}{2}[ x_{1}( y_{2} -y_{3}) +x_{2}( y_{3} -y_{1}) +x_{3}( y_{1} -y_{2})]$

将这些值代入公式，

$\frac{1}{2}[ -2( b+1) +a( -1-1) +4( 1-b)] =0$

$\Rightarrow -2b-2-2a+4-4b=0$

$\Rightarrow -2a-6b+2=0$

$\Rightarrow -2( a+2b) =-2$

$\Rightarrow a+2b=1\ ...............( 1)$

已知 $a-b=1..........( 2)$

用 $( 1)$ 减去 $( 2)$，

$a+2b-a+b=1-1$

$\Rightarrow 3b=0$

$\Rightarrow b=0$，

将 $b=0$ 代入 $( 1)$

$a-0=1$

$\Rightarrow a=1$

因此我们有 $a=1,\ b=0$