如果方程$a(b-c) x^2+b(c-a) x+c(a-b) =0$的根相等，则证明$b(a+c) =2ac$。

已知： $a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$

要求： 证明 $b(a+c) =2ac$。

解答

$a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$，且已知该方程的根相等。

因此，判别式$=0$

$\Rightarrow B^2-4AC=0$

$\Rightarrow [b(c-a)]^2-4[a(b-c)c(a-b)]=0$

$\Rightarrow b^2(c^2+a^2-2ac)-4(ab-ac)(ac-bc)=0$

$\Rightarrow b^2c^2+a^2b^2-2ab^2c-4(a^2bc-ab^2c-a^2c^2+abc^2)=0$

$\Rightarrow b^2c^2+a^2b^2-2ab^2c-4a^2bc+4ab^2c+4a^2c^2-4abc^2=0$

$\Rightarrow b^2c^2+a^2b^2+2ab^2c-4a^2bc +4a^2c^2-4abc^2=0$

$\Rightarrow b^2c^2+a^2b^2+4a^2c^2+2ab^2c -4a^2bc-4abc^2=0$

我们知道，

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$

根据上述恒等式，我们得到：

$\Rightarrow (bc+ab-2ac)^2=0$

$\Rightarrow bc+ab-2ac=0$

$\Rightarrow b(a+c)=2ac$

$\Rightarrow b=\frac{2ac}{(a+c)}$

因此，如果给定二次方程的根相等，则

$b=\frac{2ac}{(a+c)}$

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更新于： 2022年10月10日

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