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法律研究证明方程$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$的两个根都是实数，但只有当$a=b=c$时，这两个根才相等。
已知
已知二次方程为$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$。
需要做的事情
我们需要证明方程$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$的两个根都是实数，但只有当$a=b=c$时，这两个根才相等。
解答
$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$
$x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ac=0$
$3x^2+(-a-b-b-c-c-a)x+(ab+bc+ca)=0$
$3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0$
将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$进行比较，得到：
$a=3, b=-2(a+b+c)$ 和 $c=(ab+bc+ca)$。
二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。
$D=[-2(a+b+c)]^2-4(3)(ab+bc+ca)$
$D=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-12(ab+bc+ca)$
$D=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca)$
$D=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$D=2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$
$D=2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+c^2)$
$D=2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$D>0$ 或当 $a=b=c$ 时 $D=0$
因此，方程$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$的根都是实数，但只有当$a=b=c$时，这两个根才相等。
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