如果方程$x^2+x+1=0$的根为$a,\ b$，且方程$x^2+px+q=0$的根为$\frac{a}{b},\ \frac{b}{a}$；则求$p+q$的值。

已知：方程$x^2+x+1=0$的根为$a,\ b$，且方程$x^2+px+q=0$的根为$\frac{a}{b},\ \frac{b}{a}$

求解：求$p+q$的值。

解

已知，方程$x^2+x+1=0$的根为$a$和$b$。

$\therefore$ 根的和，$a+b=-\frac{1}{1}=-1$

根的积，$ab=\frac{1}{1}=1\ .........\ ( i)$

同样，$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{a}$是方程$x^2+px+q=0$的根

​

$\therefore$ 根的和，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-p$

根的积，$\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=q$

$\Rightarrow 1=q\ .......\ ( ii)$

现在，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-p$

$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}=-p$

$\Rightarrow \frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=-p$       

$\Rightarrow \frac{( -1)^2-2( 1)}{1}=-p$    [由公式(i)]

$\Rightarrow \frac{1-2}{1}=-p$

$\Rightarrow p=1$

$\therefore p+q=1+1=2$。

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更新于： 2022年10月10日

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