证明当a≠b时，方程$2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$没有实根。

已知

已知二次方程为$2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$，且$a≠b$。

要求

我们必须证明方程$2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$没有实根。

解答

将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$进行比较，我们得到：

$a=2(a^2+b^2), b=2(a+b)$ 和 $c=1$。

标准形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。

$D=[2(a+b)]^2-4[2(a^2+b^2)](1)$

$D=4(a^2+2ab+b^2)-8(a^2+b^2)$

$D=4(a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2)$

$D=4(-a^2+2ab-b^2)$

$D=-4(a^2-2ab+b^2)$

$D=-4(a-b)^2$

$D<0$ (负数乘以平方是负数，且$a≠b$)

因此，给定的二次方程没有实根。

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更新于：2022年10月10日

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