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法律研究如果 $ad \neq bc$，则证明方程 $\left( a^{2} +b^{2}\right) x^{2} +2( ac\ +\ bd) \ x+\left( c^{2} +d^{2}\right) =0$ 没有实根。
已知：方程 $( a^{2} +b^{2}) x^{2} +2( ac\ +\ bd) \ x+( c^{2} +d^{2}) =0$，ad$\
eq $bc,
eq $bc,
要求：证明给定方程没有实根。
解：
已知 $ad\
eq bc$，对于方程 $\left( a^{2} +b^{2}\right) x^{2} +2( ac\ +\ bd) \ x+\left( c^{2} +d^{2}\right) =0$
eq bc$，对于方程 $\left( a^{2} +b^{2}\right) x^{2} +2( ac\ +\ bd) \ x+\left( c^{2} +d^{2}\right) =0$
为了使该方程没有实根，其判别式 $D< 0$
$D=4( ac\ +\ bd)^{2} -4\left( a^{2} +b^{2}\right)\left( c^{2} +d^{2}\right)$
$D=4a^{2} c^{2} +4b^{2} d^{2} +8abcd-4a^{2} c^{2} -4a^{2} d^{2} -4b^{2} c^{2} -4b^{2} d^{2}$
$D=-4\left( a^{2} d^{2} +b^{2} c^{2} -2abcd\right)$
$D=-4( ad-bc)^{2}$
如给定 $ad\
eq bc$,
eq bc$,
$\therefore -4( ad-bc)^{2} < 0$
$\Rightarrow D< 0$
$\therefore$ 二次方程没有实根。
更新于： 2022 年 10 月 10 日
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