如果方程$(1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0$有相等根，证明$c^2=a^2(1+m^2)$。

已知

已知二次方程为$(1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0$。该二次方程的根相等。

要求

我们必须证明$c^2=a^2(1+m^2)$。

解答

将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$比较，我们得到：

$a=(1+m^2), b=2mc$ 和 $c=(c^2-a^2)$。

二次方程$ax^2+bx+c=0$标准形式的判别式为$D=b^2-4ac$。

$D=(2mc)^2-4(1+m^2)(c^2-a^2)$

$D=4m^2c^2-4(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)$

$D=4(m^2c^2-c^2+a^2-m^2c^2+m^2a^2)$

$D=4(m^2a^2+a^2-c^2)$

如果$D=0$，则给定的二次方程具有相等的根。

这意味着：

$4(m^2a^2+a^2-c^2)=0$

$m^2a^2+a^2-c^2=0$

$a^2(m^2+1)=c^2$

$c^2=a^2(1+m^2)$

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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