如果方程$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$的根相等，则证明$2b=a+c$。

已知

已知二次方程为$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$。已知二次方程的根相等。

要求

我们需要证明$2b=a+c$。

解答

$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$

将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$进行比较，得到：

$a=(b-c)$，$b=(c-a)$和$c=(a-b)$。

二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。

$D=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)$

$D=c^2+a^2-2ac-4ab+4b^2+4ca-4bc$

$D=a^2+4b^2+c^2+2ac-4ab-4bc$

$D=(a-2b+c)^2$      ($(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$)

如果$D=0$，则给定的二次方程具有相等的根。

这意味着：

$(a-2b+c)^2=0$

$a-2b+c=0$

$a+c=2b$

证毕。

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更新于：2022-10-10

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