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法律研究设 $f(x)=3ax^2−4bx+c$ $(a,b,c∈R,a\neq 0)$ 其中 $a,\ b,\ c$ 为等差数列。则方程 $f(x)=0$$ 有多少个根？它们是实数吗？
已知：$f(x)=3ax^2−4bx+c$ $(a,b,c∈R,a\
eq 0)$ 其中 $a,\ b,\ c$ 为等差数列。
eq 0)$ 其中 $a,\ b,\ c$ 为等差数列。
求解：求方程 $f( x)=0$ 的根的个数，并判断它们是否是实数。
解
$\because a,\ b,\ c$ 为等差数列，
$\therefore 2b=a+c$
$4b^2=( a+c)^2$ [两边平方]
给定函数 $f( x)=3ax^2−4bx+c$ 的判别式为，
$D=16b^2−12ac$
$=4( a+c)^2−12ac$
$=4[( a^2+c^2+2ac)−3ac]$
$=4( a^2+c^2−ac)$
$=4( a^2+c^2−2ac+ac)$
$=4( ( a−c)^2+ac)$
情况 1：如果 $a$ 和 $c$ 符号相反，那么得到 $D=(+)ve$。
情况 2：如果 $a$ 和 $c$ 符号相同，那么得到 $D=(+)ve$。
这表明 $f(x)=0$ 具有两个不等的实根。
更新日期： 2022 年 10 月 10 日
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