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设 $f(x)=3ax^2−4bx+c$ $(a,b,c∈R,a\neq 0)$ 其中 $a,\ b,\ c$ 为等差数列。则方程 $f(x)=0$ $ 有多少个根？它们是实数吗？

学术数学全国考试委员会十年级

已知：

$f(x)=3ax^2−4bx+c$

$(a,b,c∈R,a\ eq 0)$ 其中

$a,\ b,\ c$ 为等差数列。

求解：求方程

$f( x)=0$ 的根的个数，并判断它们是否是实数。

解

$\because a,\ b,\ c$ 为等差数列，

$\therefore 2b=a+c$

$4b^2=( a+c)^2$ [两边平方]

给定函数

$f( x)=3ax^2−4bx+c$ 的判别式为，

$D=16b^2−12ac$

$=4( a+c)^2−12ac$

$=4[( a^2+c^2+2ac)−3ac]$

$=4( a^2+c^2−ac)$

$=4( a^2+c^2−2ac+ac)$

$=4( ( a−c)^2+ac)$

情况 1：如果

$a$ 和

$c$ 符号相反，那么得到

$D=(+)ve$ 。

情况 2：如果

$a$ 和

$c$ 符号相同，那么得到

$D=(+)ve$ 。

这表明

$f(x)=0$ 具有两个不等的实根。

教程点

更新日期： 2022 年 10 月 10 日

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