求解以下关于 $x$ 的二次方程：$4x^{2} +\ 4bx\ –\ ( a^{2} \ –\ b^{2}) =\ 0$

已知：方程：$4x^{2} +\ 4bx\ –\ \left( a^{2} \ –\ b^{2}\right) =\ 0$

要求：求解 $x$ 的值。

给定的二次方程为 $4x^{2} +\ 4bx\ –\ \left( a^{2} \ –\ b^{2}\right)=0$

将给定方程两边除以 4，得到：

$x^{2} +bx-\left(\frac{a^{2} -b^{2}}{4}\right) =0$

$\Rightarrow x^{2} +2\left(\frac{b}{2}\right) x-\left(\frac{a^{2} -b^{2}}{4}\right) =0$

$\Rightarrow x^{2} +2\left(\frac{b}{2}\right) x=\left(\frac{a^{2} -b^{2}}{4}\right)$

$\Rightarrow x^{2} +2\left(\frac{b}{2}\right) x+\left(\frac{b}{2}\right)^{2} =\left(\frac{a^{2} -b^{2}}{4}\right) +\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \ \ \ \ \ \left( 在方程两边加上 \left(\frac{b}{2}\right)^{2}\right)$

$\Rightarrow \left( x+\frac{b}{2}\right)^{2} =\left(\frac{a^{2}}{4}\right) -\left(\frac{b^{2}}{4}\right) +\left(\frac{b}{2}\right)^{2}$

$\Rightarrow \left( x+\frac{b}{2}\right)^{2} =\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$

$\Rightarrow \left( x+\frac{b}{2}\right) =\pm \left(\frac{a}{2}\right)$

如果 $\left( x+\frac{b}{2}\right) =\left(\frac{a}{2}\right)$

$\Rightarrow x=\frac{a}{2} -\frac{b}{2} =\frac{a-b}{2}$

如果 $\left( x+\frac{b}{2}\right) =-\left(\frac{a}{2}\right)$

$\Rightarrow x=-\frac{a}{2} -\frac{b}{2} =-\left(\frac{a-b}{2}\right)$

因此，给定的二次方程有两个解，$x=\frac{a-b}{2}$ 和 $x=-( \frac{a-b}{2})$