方程 $3x^{4} + 6x^{3} + x^{2} + 6x + 3 = 0$ 有多少个实根？

已知

给定方程为 $f(x)$ = $3x^{4} + 6x^{3} + x^{2} + 6x + 3 = 0$

求解

我们需要求出给定方程的实根个数。

解答

根据笛卡尔符号规则，

多项式函数 f(x) 的正实根个数与系数符号变化次数相同或少于该次数的偶数。

f(x) 的负实根个数与 f(-x) 的项的系数符号变化次数相同或少于该次数的偶数。

在 f(x) 中，没有符号变化。

$f(-x) = 3(-x)^{4}+6(-x)^{3}+(-x)^{2}+6(-x)+3 = 0$

      $= 3x^{4} - 6x^{3} + x^{2} - 6x + 3 = 0$

在 $f(-x)$ 中，有四个符号变化。这意味着，存在 4 个或 2 个实根。

比较 $f(x)$ 和 $f(-x)$，有两个符号变化。

因此，给定方程有两个实根。

教程点

更新于: 2022-10-10

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