如果\( a^{x}=b^{y}=c^{z} \)且\( b^{2}=a c \)，则证明\( y=\frac{2 z x}{z+x} \)。

已知

\( a^{x}=b^{y}=c^{z} \) 且 \( b^{2}=a c \)

要求：

我们需要证明\( y=\frac{2 z x}{z+x} \)。

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此：

设 $a^{x}=b^{y}=c^{z}=k$

这意味着：

$a=k^{\frac{1}{x}}, b=k^{\frac{1}{y}}$ 且 $c=k^{\frac{1}{z}}$

$b^{2}=ac$

$\Rightarrow (k^{\frac{1}{y}})^{2}=k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{z}}$

$\Rightarrow k^{\frac{2}{y}}=k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$

$\Rightarrow \frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$

$\Rightarrow \frac{2}{y}=\frac{z+x}{xz}$

$\Rightarrow y=\frac{2 xz}{z+x}$

证毕。  

教程点

更新于：2022年10月10日

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