求多项式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互为倒数的条件。

已知：多项式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互为倒数。

要求：求多项式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互为倒数的条件。

解答

已知多项式：$p( x)=ax^2+bx+c$ 

设 $\alpha$ 和 $\frac{1}{\alpha}$ 是该多项式的根。

因此，根的和$=\alpha+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{a}$

根的积$=\alpha.\frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow 1=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow c=a$

因此，当 $c=a$ 时，多项式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互为倒数。

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更新于： 2022年10月10日

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