证明$(x - 2), (x + 3)$ 和 $(x - 4)$ 是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 的因式。

已知

已知多项式为 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$。

要求

我们必须证明 $(x - 2), (x + 3)$ 和 $(x - 4)$ 是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 的因式。

解答

我们知道，如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，则余数将为零。

要检查 $(x - 2), (x + 3)$ 和 $(x - 4)$ 是否是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 的因式，我们必须分别在 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 中代入 $x=2, x=-3$ 和 $x=4$。

令 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$

$f(2) = (2)^3-3(2)^2 -10(2)+24 = 0$

$= 8-12-20+24$

$=32-32$

$=0$

$f(-3)=(-3)^3-3(-3)^2 -10(-3)+24 = 0$

$= -27-3(9)+30+24$

$=54-54$

$=0$

$f(4) = (4)^3-3(4)^2 -10(4)+24 = 0$

$= 64-48-40+24$

$=88-88$

$=0$

这意味着，$(x-2), (x+3)$ 和 $(x-4)$ 是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 的因式。

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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