如果多项式 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$ 的因式为 $2x + 3$ 和 $x + 2$，则求多项式 $g(x)$ 中常数 $a$ 和 $b$ 的值。

已知

给定的多项式为 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$.

$2x + 3$ 和 $x + 2$ 是多项式 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$ 的因式。

要求

我们需要求出多项式 $g(x)$ 中 $a$ 和 $b$ 的值。

解答

$2x + 3$ 和 $x + 2$ 是多项式 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$ 的因式。

当 $x = -2$ 时，$g(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + 27(-2) + b = 0$.

                                      $4a + b - 70 = 0$

                                        $4a + b = 70$-----(1)

当 $x = \frac{-3}{2}$ 时，$g(\frac{-3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 + a(-\frac{3}{2})^2 + 27(-\frac{3}{2}) + b = 0$.

                                      $\frac{9}{4}a + 4b - \frac{81}{2} = 0$

                                        $9a + 4b = 189$----(2)

为了求解上述两个方程，我们将方程 (1) 乘以 4，这样 4b 可以消去，然后我们可以先求出 a 的值。

$4(4a+b) = 4(70)$

$16a+4b = 280$ -----(3)

现在，

方程 (3) 减去方程 (2) 为：

$16a+4b = 280$

$-(9a+4b = 189)$

--------------------

$7a = 91$

$a = \frac{91}{7}$

$a = 13$

将 $a = 13$ 代入方程 (1)

$4(13)+b = 70$

$52+b =70$

$b = 70-52$

$b = 18$.

$a$ 的值为 13，$b$ 的值为 18。

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更新于：2022年10月10日

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