求多项式 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ 的有理根。

已知

给定的多项式是 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$。

求解

我们需要求多项式 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ 的有理根。

解答

$f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$。

这里，$f(x)$ 是一个系数为整数的多项式，最高次项的系数为 2。

因此，$f(x)$ 的整数根仅限于 $2\times-6=-12$ 的整数因子，即 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$。

如果 $x=1$，

$f(1)=2(1)^{3}+(1)^{2}-7 \times 1-6$

$=2 \times 1+1-7-6$

$=2+1-7-6$

$=3-13$

$=-10$

因此，$x=1$ 不是 $f(x)$ 的零点。

类似地，

$f(2)=2 \times(2)^{3}+(2)^{2}-7 \times 2-6$

$=2 \times 8+4-14-6$

$=16+4-14-6$

$=20-20$

$=0$

因此，$x=2$ 是 $f(x)$ 的零点。

$f(3)=2(3)^{3}+(3)^{2}-7 \times 3-6$

$=2 \times 27+9-21-6$

$=54+9-21-6$

$=63-27$

$=36$

因此，$x=3$ 不是 $f(x)$ 的零点。

$f(-3)=2(-3)^{3}+(-3)^{2}-7(-3)-6$

$=2 \times(-27)+9+21-6$

$=-54+9+21-6$

$=-60+30$

$=-30$

因此，$x=-3$ 不是 $f(x)$ 的零点。

将 $f(x)$ 除以 $x-2$，得到：

$x - 2$)$2x^{3} + x^{2} - 7 x - 6$ ( $2 x^{2} + 5 x + 3$
                 $2 x^{3}-4 x^{2}$

           --------------------------
                              $5 x^{2}-7 x$
                              $5 x^{2}-10 x$

                        ------------------------

                                            $3 x-6$
                                            $3 x-6$

                                         -------------

                                                $0$

                                      --------------

$f(x)=(x-2)(2 x^{2}+5 x+3)$

$=(x-2)[2 x^{2}+2 x+3 x+3]$

$=(x-2)[2 x(x+1)+3(x+1)]$

$=(x-2)(x+1)(2 x+3)$

如果 $x-2=0$，则 $\Rightarrow x=2$

如果 $x+1=0$，则 $\Rightarrow x=-1$

如果 $x+3=0$，则 $\Rightarrow 2 x=-3$

$\Rightarrow x=\frac{-3}{2}$

多项式 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ 的有理根是 $-1, 2, \frac{-3}{2}$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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