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法律研究求多项式 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ 的有理根。
已知
给定的多项式是 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$。
求解
我们需要求多项式 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ 的有理根。
解答
$f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$。
这里，$f(x)$ 是一个系数为整数的多项式，最高次项的系数为 2。
因此，$f(x)$ 的整数根仅限于 $2\times-6=-12$ 的整数因子，即 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$。
如果 $x=1$，
$f(1)=2(1)^{3}+(1)^{2}-7 \times 1-6$
$=2 \times 1+1-7-6$
$=2+1-7-6$
$=3-13$
$=-10$
因此，$x=1$ 不是 $f(x)$ 的零点。
类似地，
$f(2)=2 \times(2)^{3}+(2)^{2}-7 \times 2-6$
$=2 \times 8+4-14-6$
$=16+4-14-6$
$=20-20$
$=0$
因此，$x=2$ 是 $f(x)$ 的零点。
$f(3)=2(3)^{3}+(3)^{2}-7 \times 3-6$
$=2 \times 27+9-21-6$
$=54+9-21-6$
$=63-27$
$=36$
因此，$x=3$ 不是 $f(x)$ 的零点。
$f(-3)=2(-3)^{3}+(-3)^{2}-7(-3)-6$
$=2 \times(-27)+9+21-6$
$=-54+9+21-6$
$=-60+30$
$=-30$
因此，$x=-3$ 不是 $f(x)$ 的零点。
将 $f(x)$ 除以 $x-2$，得到：
$x - 2$)$ 2x^{3} + x^{2} - 7 x - 6$ ( $2 x^{2} + 5 x + 3$
$2 x^{3}-4 x^{2}$
--------------------------
$5 x^{2}-7 x$
$5 x^{2}-10 x$
------------------------
$3 x-6$
$3 x-6$
-------------
$0$
--------------
$f(x)=(x-2)(2 x^{2}+5 x+3)$
$=(x-2)[2 x^{2}+2 x+3 x+3]$
$=(x-2)[2 x(x+1)+3(x+1)]$
$=(x-2)(x+1)(2 x+3)$
如果 $x-2=0$，则 $\Rightarrow x=2$
如果 $x+1=0$，则 $\Rightarrow x=-1$
如果 $x+3=0$，则 $\Rightarrow 2 x=-3$
$\Rightarrow x=\frac{-3}{2}$
多项式 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ 的有理根是 $-1, 2, \frac{-3}{2}$。
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