对于哪个值 $k$，多项式 $f(x) = 3x^4 - 9x^3 + x^2 + 15x + k$ 能被 $3x^2 - 5$ 完全整除？

已知

已知多项式为 $f(x) = 3x^4 - 9x^3 + x^2 + 15x + k$。

除数为 $3x^2 - 5$。

待求解

我们需要求 $k$ 的值。

解答

如果 $f(x) = 3x^4 - 9x^3 + x^2 + 15x + k$ 能被 $3x^2 - 5$ 完全整除，则 $3x^2 - 5$ 是 $f(x)$ 的一个因子。

为了求零点，令 $3x^2 - 5 = 0$

$3x^2 - 5 = 0$

$3x^2 = 5$

$x^2 = \frac{5}{3}$

$x = \sqrt{\frac{5}{3}}$ 或 $x = -\sqrt{\frac{5}{3}}$

$x = \sqrt{\frac{5}{3}}$ 是 $f(x)$ 的一个根。

因此，

$f(\sqrt{\frac{5}{3}}) = 3(\sqrt{\frac{5}{3}})^4 - 9(\sqrt{\frac{5}{3}})^3 + (\sqrt{\frac{5}{3}})^2 + 15(\sqrt{\frac{5}{3}}) + k = 0$

$\begin{array}{l} 3\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{4} -9\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{3} +\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{2} +15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +k=0\\ \\ 3\left(\frac{5}{3}\right)^{2} -9\left(\frac{5}{3}\right)\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +\frac{5}{3} +15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +k=0\\ \\ \frac{25}{3} -15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +\frac{5}{3} +15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +k=0\\ \\ \frac{30}{3} +k=0\\ \\ 10+k=0\\ \\ k=-10 \end{array}$

$k$ 的值为 $-10$。

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更新于：2022年10月10日

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