需要向表达式 $x^3 - 3x^2 - 12x + 19$ 中添加什么才能使其结果被 $x^2 + x - 6$ 整除？

已知

已知表达式为 $x^3 - 3x^2 - 12x + 19$。

待求

我们必须找到需要添加到 $x^3 - 3x^2 - 12x + 19$ 的表达式，以使其结果被 $x^2 + x - 6$ 整除。

解答

我们知道：

如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(m)=0$。

令 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-12 x+19$ 和 $g(x)=x^{2}+x-6$。

用 $g(x)$ 除 $f(x)$，得到一次余式。因此，设 $ax+b$ 加到 $f(x)$ 上得到 $p(x)=f(x)+r(x)$

这意味着：

$x^{3}-3 x^{2}-12 x+19+a x+b$ 可被 $g(x)$ 整除

$g(x)=x^{2}+x-6$

$=x^{2}+3 x-2 x-6$

$=x(x+3)-2(x+3)$

$=(x+3)(x-2)$

这意味着：

$(x+3)$ 和 $(x-2)$ 是 $x^{3}-3 x^{2}-12 x+19+a x+b$ 的因式。

因此：

$f(-3)=(-3)^{3}-3(-3)^{2}-12(-3)+19+a(-3)+b=0$

$-27-27+36+19-3 a+b=0$

$1-3 a+b=0$

$b=3a-1$.............(i)

$f(2)=(2)^{3}-3(2)^{2}-12(2)+19+a(2)+b=0$

$8-12-24+19+2 a+b=0$

$-9+2 a+b=0$

$-9+2a+3a-1=0$ [由 (i) 式]

$5a=10$

$a=2$

$\Rightarrow b=3(2)-1=5$

$=6-1$

$=5$

因此，必须向 $x^3 - 3x^2 - 12x + 19$ 添加 $2x+5$，使其结果被 $x^2 + x - 6$ 整除。

教程点

更新于：2022年10月10日

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