如果多项式 $x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10$ 被另一个多项式 $x^2 - 2x + k$ 除，余数为 $x + a$，求 $k$ 和 $a$ 的值。

已知

多项式 $x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10$ 被另一个多项式 $x^2 - 2x + k$ 除，余数为 $x + a$。

求解

我们需要求出 $k$ 和 $a$ 的值。

解答

设 $p(x) = x^4 – 6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$

余数 $= x + a$....… (i)

将给定的多项式 $6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$ 除以 $x^2 – 2x + k$，我们得到：

$x^2-2x+k$)$x^4-6x^3+16x^2-25x+10$($x^2-4x+8-k$

                      $x^4-2x^3+kx^2$

                  ------------------------------

                     $-4x^3+(16-k)x^2-25x+10$

                    $-4x^3+8x^2-4kx$

                -------------------------------

                              $(8-k)x^2-(25-4k)x+10$

                             $(8-k)x^2-(16-2k)x+8k-k^2$

                        ----------------------------

                                    $(-9+2k)x+10-8k+k^2$

利用等式 (i)，我们得到：

$(-9 + 2k)x + 10-8 k + k^2 = x + a$

比较相同系数，我们得到：

$-9 + 2k = 1$

$2k = 9+1$

$2k=10$

$k = 5$...….(ii)

$10 -8k + k^2 = a$...….(iii)

代入 $k = 5$ 的值，我们得到：

$10 – 8(5) + (5)^2 = a$

$10 – 40 + 25 = a$

$35 – 40 =   a$

$a =-5$

因此，$k = 5$ 和 $a = -5$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

27 次浏览

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习