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法律研究如果多项式 $x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10$ 被另一个多项式 $x^2 - 2x + k$ 除，余数为 $x + a$，求 $k$ 和 $a$ 的值。
已知
多项式 $x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10$ 被另一个多项式 $x^2 - 2x + k$ 除，余数为 $x + a$。
求解
我们需要求出 $k$ 和 $a$ 的值。
解答
设 $p(x) = x^4 – 6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$
余数 $= x + a$....… (i)
将给定的多项式 $6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$ 除以 $x^2 – 2x + k$，我们得到：
$x^2-2x+k$)$x^4-6x^3+16x^2-25x+10$($x^2-4x+8-k$
$x^4-2x^3+kx^2$
------------------------------
$-4x^3+(16-k)x^2-25x+10$
$-4x^3+8x^2-4kx$
-------------------------------
$(8-k)x^2-(25-4k)x+10$
$(8-k)x^2-(16-2k)x+8k-k^2$
----------------------------
$(-9+2k)x+10-8k+k^2$
利用等式 (i)，我们得到：
$(-9 + 2k)x + 10-8 k + k^2 = x + a$
比较相同系数，我们得到：
$-9 + 2k = 1$
$2k = 9+1$
$2k=10$
$k = 5$...….(ii)
$10 -8k + k^2 = a$...….(iii)
代入 $k = 5$ 的值，我们得到：
$10 – 8(5) + (5)^2 = a$
$10 – 40 + 25 = a$
$35 – 40 = a$
$a =-5$
因此，$k = 5$ 和 $a = -5$。
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