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法律研究求顶点为 $(-2, -3), (-1, 0), (7, -6)$ 的三角形的外心。
已知
已知三角形的顶点为 $(-2, -3), (-1, 0), (7, -6)$。
要求
我们必须找到给定三角形的外心。
解答
设 $ABC$ 为一个三角形，其顶点为 $A (-2, -3), B (-1, 0)$ 和 $C (7, -6)$。
设 \( O(x, y) \) 为 \( \Delta A B C \) 的外心。
这意味着，
\( \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC} \)
\( \Rightarrow \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2} \)
我们知道，
两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{OA}^{2}=(x+2)^{2}+(y+3)^{2} \)
\( =x^{2}+4 x+4+y^{2}+6 y+9 \)
\( =x^{2}+y^{2}+4 x+6 y+13 \)
\( \mathrm{OB}^{2}=(x+1)^{2}+(y+0)^{2} \)
\( =x^{2}+2 x+1+y^{2} \)
\( =x^{2}+y^{2}+2 x+1 \)
\( \mathrm{OC}^{2}=(x-7)^{2}+(y+6)^{2} \)
\( =x^{2}-14 x+49+y^{2}+12 y+36 \)
\( =x^{2}+y^{2}-14 x+12 y+85 \)
\( \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+4 x+6 y+13=x^{2}+y^{2}+2 x+1 \)
\( \Rightarrow 4 x+6 y-2 x=1-13 \)
\( \Rightarrow 2 x+6 y=-12 \)
\( \Rightarrow x+3 y=-6 \)
\( \Rightarrow x=-3y-6 \).......(i)
\( \mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x+1=x^{2}+y^{2}-14 x+12 y+85 \)
\( \Rightarrow 2 x+14 x-12 y=85-1 \)
\( \Rightarrow 16 x-12 y=84 \)
\( \Rightarrow 4 x-3 y=21 \)......(ii)
将 \( x \) 的值代入 (ii)，得到，
\( 4(-3 y-6)-3 y=21 \)
\( \Rightarrow -12 y-24-3 y=21 \)
\( \Rightarrow -15 y=21+24 \)
\( \Rightarrow -15 y=45 \)
\( \Rightarrow y=\frac{45}{-15}=-3 \)
这意味着，
\( x=-3 y-6=-3 \times(-3)-6 \)
\( =9-6=3 \)
因此，三角形的外心为 $(3,-3)$。
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