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法律研究一个等腰三角形的两个顶点是$(2, 0)$和$(2, 5)$。如果等腰边的长度是3，求第三个顶点。
已知
一个等腰三角形的两个顶点是$(2, 0)$和$(2, 5)$。
要求
如果等腰边的长度是3，我们需要找到第三个顶点。
解
设等腰三角形$\triangle ABC$的两个顶点为$A (2, 0)$和$B (2, 5)$，第三个顶点的坐标为$C(x, y)$。
我们知道，
两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AC}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}} \)
\( =\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} \)
\( \Rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=3 \)
两边平方，得到：
\( (x-2)^{2}+y^{2}=9 \)
\( x^{2}-4 x+4+y^{2}=9 \)
\( x^{2}+y^{2}-4 x=9-4=5 \)......(i)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-5)^{2}} \)
\( \sqrt{(x-2)^{2}+(y-5)^{2}}=3 \)
两边平方，得到：
\( (x-2)^{2}+(y-5)^{2}=9 \)
\( x^{2}-4 x+4+y^{2}-10 y+25=9 \)
\( x^{2}+y^{2}-4 x-10 y=9-4-25=-20 \).......(ii)
用(i)减去(ii)，得到：
\( 10 y=25 \)
\( y=\frac{25}{10} \)
\( =\frac{5}{2} \)
将\( y \)的值代入(i)，得到：
\( x^{2}-4 x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=5 \)
\( x^{2}-4 x+\frac{25}{4}-5=0 \)
\( 4 x^{2}-16 x+25-20=0 \)
\( 4 x^{2}-16 x+5=0 \)
\( x=\frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^{2}-4 \times 4 \times 5}}{2 \times 4} \)
\( =\frac{16 \pm \sqrt{16 \times 11}}{8} \)
\( =\frac{16 \pm 4 \sqrt{11}}{8} \)
\( =\frac{4 \pm \sqrt{11}}{2} \)
\( =2 \pm \frac{\sqrt{11}}{2} \)
因此，第三个顶点的坐标为\( \left(2+\frac{\sqrt{11}}{2}, \frac{5}{2}\right) \)或\( \left(2-\frac{\sqrt{11}}{2}, \frac{5}{2}\right) \)。
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