如果$(-4, 3)$和$(4, 3)$是等边三角形的两个顶点，已知原点位于三角形的内部，求第三个顶点的坐标。

已知

$(-4, 3)$和$(4, 3)$是等边三角形的两个顶点。

要求

我们必须找到第三个顶点的坐标，已知原点位于三角形的内部。

解答

设$B(-4, 3)$和$C(4, 3)$是等边三角形的两个顶点。

设$A(x, y)$为第三个顶点。

等边三角形的所有边都相等。

$AB = BC = AC$

$AB = BC$

$AB^2 = BC^2$

$(\sqrt{(-4 -x)^2 + (3-y)^2})^2 = (\sqrt{(4 + 4)^2 + (3 - 3)^2})^2$

$16 + x^2 + 8x + 9 + y^2 – 6y = 64$

$x^2 + y^2 + 8x – 6y = 39$

$AB = AC$

$AB^2 = AC^2$

$(-4 – x)^2 + (3 – y)^2 = (4 – x)^2 + (3 – y)^2$

$16 + x^2 + 8x + 9 + y^2 – 18y = 16 + x^2 – 8x + 9 + y^2 – 6y$

$16x = 0$

$x = 0$

$BC = AC$

$BC^2 = AC^2$

$(4 + 4)^2 + (3 – 3)^2 = (4 – 0)^2 + (3 – y)^2$

$64 + 0 = 16 + 9 + y^2 – 6y$

$64 = 16 + (3 – y)^2$

$(3 – y)^2 = 48$

$3 – y = \pm 4\sqrt3$

$y = 3 \pm 4\sqrt3$

因此，当原点位于三角形内部时，第三个顶点的坐标为$(0, 3 – 4\sqrt3)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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