如果一个三角形三边的中点坐标分别为$(3, 4), (4, 6)$和$(5, 7)$，求该三角形的顶点坐标。

 已知

一个三角形三边的中点坐标分别为$(3, 4), (4, 6)$和$(5, 7)$。

要求

我们要求出该三角形的顶点坐标。

解答

设$\triangle ABC$的顶点分别为$A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$和$C (x_3, y_3)$，且$BC$、$CA$和$AB$的中点分别为$D(3,4), E(4,6)$和$F(5,7)$。

$D$是$BC$的中点。

这意味着：

$\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=3$

$\Rightarrow x_{2}+x_{3}=6$.....(i)

$\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=4$

$\Rightarrow y_{2}+y_{3}=8$......(a)

类似地，

$E$是$A C$的中点。

$\frac{x_{3}+x_{1}}{2}=4$

$\Rightarrow x_{3}+x_{1}=8$.......(ii)

$\frac{y_{3}+y_{1}}{2}=6$

$\Rightarrow y_{3}+y_{1}=12$.......(b)

$\mathrm{F}$是$\mathrm{AB}$的中点。

$\frac{x_{2}+x_{1}}{2}=5$

$\Rightarrow x_{2}+x_{1}=10$........(iii)

$\frac{y_{2}+y_{1}}{2}=7$

$\Rightarrow y_{2}+y_{1}=14$.......(c)

将(i)、(ii)和(iii)相加，得到：

$2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=24$

$\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=12$......(iv)

从(iv)中分别减去(i)、(ii)和(iii)，得到：

$x_{1}=6, x_{2}=4, x_{3}=2$

类似地，

将(a)、(b)和(c)相加，得到：

$2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=34$

$\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=17$.......(d)

从(d)中分别减去(a)、(b)和(c)，得到：

$y_{1}=9$ $y_{2}=5$ $y_{3}=3$

因此，$\Delta \mathrm{ABC}$的顶点坐标为$\mathrm{A}(6,9), \mathrm{B}(4,5), \mathrm{C}(2,3)$

该三角形的顶点坐标为$(6,9), (4,5)$和$(2,3)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

78 次浏览

开启你的职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习