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法律研究如果一个三角形三边的中点坐标分别为$(3, 4), (4, 6)$和$(5, 7)$，求该三角形的顶点坐标。
已知
一个三角形三边的中点坐标分别为$(3, 4), (4, 6)$和$(5, 7)$。
要求
我们要求出该三角形的顶点坐标。
解答
设$\triangle ABC$的顶点分别为$A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$和$C (x_3, y_3)$，且$BC$、$CA$和$AB$的中点分别为$D(3,4), E(4,6)$和$F(5,7)$。
$D$是$BC$的中点。
这意味着：
\( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=3 \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{3}=6 \).....(i)
\( \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=4 \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{3}=8 \)......(a)
类似地，
\( E \)是\( A C \)的中点。
\( \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=4 \)
\( \Rightarrow x_{3}+x_{1}=8 \).......(ii)
\( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=6 \)
\( \Rightarrow y_{3}+y_{1}=12 \).......(b)
\( \mathrm{F} \)是\( \mathrm{AB} \)的中点。
\( \frac{x_{2}+x_{1}}{2}=5 \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{1}=10 \)........(iii)
\( \frac{y_{2}+y_{1}}{2}=7 \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{1}=14 \).......(c)
将(i)、(ii)和(iii)相加，得到：
\( 2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=24 \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=12 \)......(iv)
从(iv)中分别减去(i)、(ii)和(iii)，得到：
\( x_{1}=6, x_{2}=4, x_{3}=2 \)
类似地，
将(a)、(b)和(c)相加，得到：
\( 2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=34 \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=17 \).......(d)
从(d)中分别减去(a)、(b)和(c)，得到：
\( y_{1}=9 \) \( y_{2}=5 \) \( y_{3}=3 \)
因此，\( \Delta \mathrm{ABC} \)的顶点坐标为\( \mathrm{A}(6,9), \mathrm{B}(4,5), \mathrm{C}(2,3) \)
该三角形的顶点坐标为$(6,9), (4,5)$和$(2,3)$。
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