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法律研究如果一个正方形的两个对角顶点是 $(5, 4)$ 和 $(1, -6)$，求其其余两个顶点的坐标。
已知
一个正方形的两个对角顶点是 $(5, 4)$ 和 $(1, -6)$。
要求
我们需要找到其剩余两个顶点的坐标。
解答
设 ABCD 为给定的正方形，且 $A (5, 4)$ 和 $C (1, -6)$ 是其对角顶点。
设 $B$ 的坐标为 $(x, y)$。连接 AC。
这意味着，
$AB=BC=CD=DA$
我们知道，
两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \)
两边平方，得到：
\( \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2} \)
\( \Rightarrow (x-5)^{2}+(y-4)^{2}=(x-1)^{2}+(y+6)^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}-10 x+25+y^{2}-8 y+16 =x^{2}-2 x+1+y^{2}+12 y+36 \)
\( \Rightarrow -10 x+2 x-8 y-12 y=37-41 \)
\( \Rightarrow -8 x-20 y=-4 \)
\( \Rightarrow -4(2 x+5 y)=-4 \)
\( \Rightarrow 2 x+5 y=1 \)
\( \Rightarrow 2 x=1-5 y \)
\( \Rightarrow x=\frac{1-5 y}{2} \)
\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形。
\( \Rightarrow \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \)
\( \Rightarrow (5-1)^{2}+(4+6)^{2}=x^{2}-10 x+25+y^{2}-8 y +16+x^{2}-2 x+1+y^{2}+12 y+36 \)
\( (4)^{2}+(10)^{2}=2 x^{2}+2 y^{2}-12 x+4 y+78 \)
\( 16+100=2 x^{2}+2 y^{2}-12 x+4 y+78 \)
\( \Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-12 x+4 y+78-16-100=0 \)
\( \Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-12 x+4 y-38=0 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x+2 y-19=0 \)
代入 \( x=\frac{1-5 y}{2} \)
\( (\frac{1-5 y}{2})^{2}+y^{2}-6(\frac{1-5 y}{2})+2 y-19=0 \)
\( \Rightarrow \frac{1+25 y^{2}-10 y}{4}+y^{2}-3(1-5 y)+2 y-19=0 \)
\( \Rightarrow 1+25 y^{2}-10 y+4 y^{2}-12(1-15 y)+8 y-76=0 \)
\( \Rightarrow 1+25 y^{2}-10 y+4 y^{2}-12+60 y+8 y-76=0 \)
\( \Rightarrow 29 y^{2}+58 y-87=0 \)
\( \Rightarrow y^{2}+2 y-3=0 \)
\( \Rightarrow y^{2}+3 y-y-3=0 \)
\( \Rightarrow y(y+3)-1(y+3)=0 \)
\( \Rightarrow(y+3)(y-1)=0 \)
\( y+3=0 \) 或 \( y-1=0 \)
\( y=-3 \) 或 \( y=1 \)
如果 \( y=1, \) 则，
\( x=\frac{1-5 y}{2} \)
\( =\frac{1-5 \times 1}{2} \)
\( =\frac{1-5}{2} \)
\( =\frac{-4}{2} \)
\( =-2 \)
如果 \( y=-3, \) 则，
\( x=\frac{1-5(-3)}{2} \)
\( =\frac{1+15}{2} \)
\( =\frac{16}{2} \)
\( =8 \)
因此，正方形的其他两个点是 $(-2,1)$ 和 $(8,-3)$。
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