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法律研究一个正方形的两个对角顶点分别为$(-1, 2)$和$(3, 2)$。求另外两个顶点的坐标。
已知
一个正方形的两个对角顶点分别为$(-1, 2)$和$(3, 2)$。
要求
我们需要找到另外两个顶点的坐标。
解答
设给定正方形为ABCD，且$A (-1, 2)$和$C (3, 2)$为其对角顶点。
设$B$的坐标为$(x, y)$。连接AC。
这意味着，
$AB=BC=CD=DA$
我们知道，
两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \)
两边平方，得到：
\( \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2} \)
\( \Rightarrow (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4 =x^{2}-6 x+9+y^{2}-4 y+4 \)
\( \Rightarrow 2 x+6 x-4 y+4 y=13-5 \)
\( \Rightarrow 8 x=8 \)
\( \Rightarrow x=1 \).........(i)
\( \mathrm{ABC} \)是一个直角三角形。
\( \Rightarrow \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \)
\( \Rightarrow (3+1)^{2}+(2-2)^{2}=x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y +4+x^{2}-6 x+9+y^{2}-4 y+4 \)
\( (4)^{2}=2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18 \)
\( 16=2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18 \)
\( \Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18-16=0 \)
\( \Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+2=0 \)
\( \Rightarrow 2 (x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1)=0 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 \)
将\( x=1 \)代入，得到：
\( (1)^{2}+y^{2}-2(1)-4 y+1=0 \)
\( \Rightarrow 1+y^2-2-4y+1=0 \)
\( \Rightarrow y^2-4y=0 \)
\( \Rightarrow y(y-4)=0 \)
\( \Rightarrow(y)(y-4)=0 \)
\( y=0 \) 或 \( y-4=0 \)
\( y=0 \) 或 \( y=4 \)
因此，正方形的其他两个顶点为$(1,0)$和$(1,4)$。
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