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法律如果一个三角形三边的中点坐标分别为$(1, 1)$、$(2, -3)$和$(3, 4)$，求该三角形的顶点坐标。
已知
一个三角形三边的中点坐标分别为$(1, 1)$、$(2, -3)$和$(3, 4)$。
要求
求该三角形的顶点坐标。
解答
设$\triangle ABC$的顶点分别为$A (x_1, y_1)$、$B (x_2, y_2)$和$C (x_3, y_3)$，且$BC$、$CA$和$AB$的中点分别为$D(1,1)$、$E(2,-3)$和$F(3,4)$。
$D$是$BC$的中点。
这意味着：
\( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=1 \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{3}=2 \).....(i)
\( \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=1 \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{3}=2 \)......(a)
类似地，
\( E \)是\( A C \)的中点。
\( \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=2 \)
\( \Rightarrow x_{3}+x_{1}=4 \).......(ii)
\( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=-3 \)
\( \Rightarrow y_{3}+y_{1}=-6 \).......(b)
\( \mathrm{F} \)是\( \mathrm{AB} \)的中点。
\( \frac{x_{2}+x_{1}}{2}=3 \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{1}=6 \)........(iii)
\( \frac{y_{2}+y_{1}}{2}=4 \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{1}=8 \).......(c)
将(i)、(ii)和(iii)相加，得到：
\( 2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=12 \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \)......(iv)
从(iv)中分别减去(i)、(ii)和(iii)，得到：
\( x_{1}=4, x_{2}=2, x_{3}=0 \)
类似地，
将(a)、(b)和(c)相加，得到：
\( 2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=4 \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=2 \).......(d)
从(d)中分别减去(a)、(b)和(c)，得到：
\( y_{1}=0 \)
\( y_{2}=8 \)
\( y_{3}=-6 \)
因此，$\Delta \mathrm{ABC}$的顶点坐标为$\mathrm{A}(4,0)$、$\mathrm{B}(2,8)$和$\mathrm{C}(0,-6)$。
该三角形的顶点坐标为$(4,0)$、$(2,8)$和$(0,-6)$。
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