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法律研究已知三角形$PQR$中，点$Q$的坐标为$(3, 2)$，过$Q$点的两条边的中点坐标分别为$(2, -1)$和$(1, 2)$。求三角形$PQR$的面积。
已知
在三角形$PQR$中，过$Q(3,2)$点的两条边的中点坐标分别为$(2, -1)$和$(1, 2)$。
求解
我们需要求出$\triangle PQR$的面积。
解题步骤
设$P (x_1, y_1), R (x_3, y_3)$为$\triangle PQR$的另外两个顶点。
$A(2,-1)$是$QR$的中点。
这意味着：
\( (\frac{3+x_{3}}{2}, \frac{2+y_3}{2})=(2,-1) \)
比较后，我们得到：
\( \frac{3+x_3}{2}=2 \) 且 \( \frac{2+y_3}{2}=-1 \)
\( 3+x_3=2(2) \) 且 \( 2+y_3=-1(2) \)
\( x_3=4-3=1 \) 且 \( y_3=-2-2=-4 \)
同样地：
\( B(1,2) \)是\( PQ \)的中点。
\( (\frac{3+x_{1}}{2}, \frac{2+y_1}{2})=(1,2) \)
比较后，我们得到：
\( \frac{3+x_1}{2}=1 \) 且 \( \frac{2+y_1}{2}=2 \)
\( 3+x_1=2(1) \) 且 \( 2+y_1=2(2) \)
\( x_1=2-3=-1 \) 且 \( y_1=4-2=2 \)
我们知道：
顶点为$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面积由下式给出：
三角形面积$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此：
三角形\( PQR\)的面积\(=\frac{1}{2}[3(2+4)+(-1)(-4-2)+1(2-2)] \)
\( =\frac{1}{2}[3(6)+(-1)(-6)+1(0)] \)
\( =\frac{1}{2}(18+6+0) \)
\( =\frac{1}{2}(24) \)
\( =12 \) 平方单位
三角形$\triangle PQR$的面积是$12$平方单位。
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