已知三角形$PQR$中，点$Q$的坐标为$(3, 2)$，过$Q$点的两条边的中点坐标分别为$(2, -1)$和$(1, 2)$。求三角形$PQR$的面积。

 已知

在三角形$PQR$中，过$Q(3,2)$点的两条边的中点坐标分别为$(2, -1)$和$(1, 2)$。

求解

我们需要求出$\triangle PQR$的面积。

解题步骤

设$P (x_1, y_1), R (x_3, y_3)$为$\triangle PQR$的另外两个顶点。

$A(2,-1)$是$QR$的中点。

这意味着：

$(\frac{3+x_{3}}{2}, \frac{2+y_3}{2})=(2,-1)$

比较后，我们得到：

$\frac{3+x_3}{2}=2$ 且 $\frac{2+y_3}{2}=-1$

$3+x_3=2(2)$ 且 $2+y_3=-1(2)$

$x_3=4-3=1$ 且 $y_3=-2-2=-4$

同样地：

$B(1,2)$是$PQ$的中点。

$(\frac{3+x_{1}}{2}, \frac{2+y_1}{2})=(1,2)$

比较后，我们得到：

$\frac{3+x_1}{2}=1$ 且 $\frac{2+y_1}{2}=2$

$3+x_1=2(1)$ 且 $2+y_1=2(2)$

$x_1=2-3=-1$ 且 $y_1=4-2=2$

我们知道：

顶点为$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面积由下式给出：

三角形面积$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此：

三角形$PQR$的面积$=\frac{1}{2}[3(2+4)+(-1)(-4-2)+1(2-2)]$

$=\frac{1}{2}[3(6)+(-1)(-6)+1(0)]$

$=\frac{1}{2}(18+6+0)$

$=\frac{1}{2}(24)$

$=12$ 平方单位

三角形$\triangle PQR$的面积是$12$平方单位。

教程点

更新于：2022年10月10日

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