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法律学平行四边形的三个顶点为$(3, 4), (3, 8)$和$(9, 8)$。求第四个顶点。
已知
平行四边形的三个顶点为$(3, 4), (3, 8)$和$(9, 8)$。
要求
我们需要找到第四个顶点。
解
设ABCD为平行四边形，其顶点A、B和C分别为$(3, 4), (3, 8), (9, 8)$。
设D的坐标为\( (x, y) \)。
\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(3-3)^{2}+(8-4)^{2}} \)
\( =\sqrt{0+(4)^{2}} \)
\( =\sqrt{16} \)
\( =4 \)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(3-9)^{2}+(8-8)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-6)^{2}+0} \)
\( =\sqrt{36} \)
\( =6 \)
\( \mathrm{CD}=\sqrt{(x-9)^{2}+(y-8)^{2}} \)
\( \mathrm{DA}=\sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}} \)
平行四边形的对边相等。
\( \therefore A B=C D \) 和 \( B C=A D \)
\( C D=\sqrt{(x-9)^{2}+(y-8)^{2}}=4 \)
两边平方，得到：
\( (x-9)^{2}+(y-8)^{2}=(4)^{2} \)
\( x^{2}-18 x+81+y^{2}-16 y+64=16 \)
\( x^{2}+y^{2}-18 x-16 y=16-81-64 \)
\( x^{2}+y^{2}-18 x-16 y=-129 \)......(i)
\( \mathrm{AD}=\sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}}=6 \)
\( (3-x)^{2}+(4-y)^{2}=36 \)
两边平方，得到：
\( 9+x^{2}-6 x+16+y^{2}-8 y=36 \)
\( x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=36-9-16 \)
\( x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=11 \)......(ii)
用(ii)减去(i)，得到：
\( 12 x+8 y=140 \)
\( 3 x+2 y=35 \)
\( 2 y=35-3 x \)
\( y=\frac{35-3 x}{2} \)
将y的值代入(ii)，得到：
\( x^{2}+\left(\frac{35-3 x}{2}\right)^{2}-6 x-8\left(\frac{35-3 x}{2}\right)=11 \)
\( x+\frac{1225+9 x^{2}-210 x}{4}-6 x-140+12 x=11 \)
\( 4 x^{2}+1225+9 x^{2}-210 x-24 x-560+48 x=44 \)
\( 13 x^{2}-186+621=0 \)
\( 13 x^{2}-117 x-69 x+621=0 \)
\( 13 x(x-9)-69(x-9)=0 \)
\( (x-9)(13 x-69)=0 \)
\( \Rightarrow x-9=0 \) 或 \( 13x-69=0 \)
\( x=9 \) 或 \( x=\frac{69}{13} \)，这不可能
\( \therefore x =9 \)
这意味着：
\( y =\frac{35-3 x}{2} \)
\( =\frac{35-3 \times 9}{2} \)
\( =\frac{35-27}{2} \)
\( =\frac{8}{2} \)
\( =4 \)
因此，第四个顶点是$(9, 4)$。
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