平行四边形的三个顶点为$(3, 4), (3, 8)$和$(9, 8)$。求第四个顶点。

已知

平行四边形的三个顶点为$(3, 4), (3, 8)$和$(9, 8)$。

要求

我们需要找到第四个顶点。

解

设ABCD为平行四边形，其顶点A、B和C分别为$(3, 4), (3, 8), (9, 8)$。
设D的坐标为$(x, y)$。
$\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
$=\sqrt{(3-3)^{2}+(8-4)^{2}}$

$=\sqrt{0+(4)^{2}}$
$=\sqrt{16}$

$=4$
$\mathrm{BC}=\sqrt{(3-9)^{2}+(8-8)^{2}}$
$=\sqrt{(-6)^{2}+0}$

$=\sqrt{36}$

$=6$
$\mathrm{CD}=\sqrt{(x-9)^{2}+(y-8)^{2}}$
$\mathrm{DA}=\sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}}$
平行四边形的对边相等。
$\therefore A B=C D$ 和 $B C=A D$

$C D=\sqrt{(x-9)^{2}+(y-8)^{2}}=4$

两边平方，得到：

$(x-9)^{2}+(y-8)^{2}=(4)^{2}$

$x^{2}-18 x+81+y^{2}-16 y+64=16$

$x^{2}+y^{2}-18 x-16 y=16-81-64$

$x^{2}+y^{2}-18 x-16 y=-129$......(i)

$\mathrm{AD}=\sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}}=6$

$(3-x)^{2}+(4-y)^{2}=36$

两边平方，得到：
$9+x^{2}-6 x+16+y^{2}-8 y=36$
$x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=36-9-16$
$x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=11$......(ii)
用(ii)减去(i)，得到：

$12 x+8 y=140$
$3 x+2 y=35$

$2 y=35-3 x$
$y=\frac{35-3 x}{2}$
将y的值代入(ii)，得到：
$x^{2}+\left(\frac{35-3 x}{2}\right)^{2}-6 x-8\left(\frac{35-3 x}{2}\right)=11$
$x+\frac{1225+9 x^{2}-210 x}{4}-6 x-140+12 x=11$
$4 x^{2}+1225+9 x^{2}-210 x-24 x-560+48 x=44$
$13 x^{2}-186+621=0$
$13 x^{2}-117 x-69 x+621=0$
$13 x(x-9)-69(x-9)=0$
$(x-9)(13 x-69)=0$
$\Rightarrow  x-9=0$ 或 $13x-69=0$

$x=9$ 或 $x=\frac{69}{13}$，这不可能

$\therefore x =9$

这意味着：

$y =\frac{35-3 x}{2}$
$=\frac{35-3 \times 9}{2}$

$=\frac{35-27}{2}$

$=\frac{8}{2}$

$=4$

因此，第四个顶点是$(9, 4)$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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