如果\( d_{1}, d_{2}\left(d_{2}>d_{1}\right) \)是两个同心圆的直径，而\( c \)是一个圆的弦长，该弦与另一个圆相切，证明\( d_{2}^{2}=c^{2}+d_{1}^{2} \).

已知

\( d_{1}, d_{2}\left(d_{2}>d_{1}\right) \)是两个同心圆的直径，而\( c \)是一个圆的弦长，该弦与另一个圆相切。

需要完成

我们需要证明\( d_{2}^{2}=c^{2}+d_{1}^{2} \).

解答

设 $AB$ 是圆的弦，在点 $C$ 处与另一个圆相切。

这意味着，

$\triangle OCB$ 是一个直角三角形。
根据勾股定理，

$OC^2+CB^2=OB^2$

$(\frac{1}{2} d_{1})^{2}+(\frac{1}{2} c)^{2}=(\frac{1}{2} d_{2})^{2}$   ($C$ 平分 $AB$)

因此，

$d_{2}^{2}=c^{2}+d_{1}^{2}$

证毕。

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更新于: 2022-10-10

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