证明以下恒等式：$\frac{\cot ^{2} A(\sec A-1)}{1+\sin A}=\sec ^{2} A\left(\frac{1-\sin A}{1+\sec A}\right)$

待办事项

我们必须证明$\frac{\cot ^{2} A(\sec A-1)}{1+\sin A}=\sec ^{2} A\left(\frac{1-\sin A}{1+\sec A}\right)$.

解答

我们知道：

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此：

考虑左边 (LHS)：

$\frac{\cot ^{2} A(\sec A-1)}{1+\sin A}=\frac{\cos ^{2} A\left(\frac{1}{\cos A}-1\right)}{\sin ^{2} A(1+\sin A)}$

$=\frac{\cos ^{2} A(1-\cos A)}{\cos A \sin ^{2} A (1+\sin A)}$

$=\frac{\cos A(1-\cos A)}{\left(1-\cos ^{2} A\right)(1+\sin A)}$

$=\frac{\cos A(1-\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)(1+\sin A)}$

$=\frac{\cos A}{(1+\sin A)(1+\cos A)}$
考虑右边 (RHS)：

$\sec ^{2} A\left(\frac{1-\sin A}{1+\sec A}\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}\left(\frac{1-\sin \mathrm{A}}{1+\frac{1}{\cos \mathrm{A}}}\right)$

$=\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}(\frac{1-\sin \mathrm{A}}{\frac{\cos \mathrm{A}+1}{\cos \mathrm{A}}})$

$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{\cos ^{2} \mathrm{~A}(1+\cos \mathrm{A})}$

$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{\left(1-\sin ^{2} \mathrm{~A}\right)(1+\cos \mathrm{A})}$

$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{(1+\sin \mathrm{A})(1-\sin \mathrm{A})(1+\cos \mathrm{A})}$

$=\frac{\cos \mathrm{A}}{(1+\sin \mathrm{A})(1+\cos \mathrm{A})}$

这里：

LHS = RHS

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更新于：2022年10月10日

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