证明以下三角恒等式：$\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$

待办事项

我们需要证明 $\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$.

解答

我们知道，

$\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.........(ii)

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$........(iii)

因此，

$\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\frac{1}{\cos A}-\frac{\sin A}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}}$

$=\frac{\frac{1-\sin A}{\cos A}}{\frac{1+\sin A}{\cos A}}$

$=\frac{1-\sin A}{\cos A} \times \frac{\cos A}{1+\sin A}$

$=\frac{1-\sin A}{1+\sin A}$

乘以和除以 ($1+\sin A$)，得到，

$=\frac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{(1+\sin A)(1+\sin A)}$

$=\frac{1-\sin ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$

$=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$

证毕。       

教程点

更新于： 2022年10月10日

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