证明以下三角恒等式：\( \frac{1}{1+\sin A}+\frac{1}{1-\sin A}=2 \sec ^{2} A \)

待办事项

我们需要证明\( \frac{1}{1+\sin A}+\frac{1}{1-\sin A}=2 \sec ^{2} A \).

解答

我们知道：

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$.....(i)

$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(ii)

因此：

$\frac{1}{1+\sin A}+\frac{1}{1-\sin A}=\frac{1-\sin A+1+\sin A}{(1-\sin A)(1+\sin A)}$

$=\frac{2}{1-\sin^2 A}$                      

$=\frac{2}{\cos^2 A}$             [根据(ii)]                

$=2 \sec^2 A$               [根据(i)]

证毕。   

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更新于：2022年10月10日

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