证明以下三角恒等式：$\frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\tan A$

待办事项

我们需要证明$\frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\tan A$.

解答

我们知道，

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.....(i)

$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(ii)

因此，

$\frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\frac{\sin A(1-\sin^2 A)}{\cos A(2\cos^2 A-1)}$               

$=\tan A(\frac{1-2\sin^2 A}{2\cos^2 A-1})$                       [由(i)]

$=\tan A(\frac{\cos^2 A+\sin^2 A-2\sin^2 A}{2\cos^2 A-\cos^2 A-\sin^2 A})$             [由(ii)]

$=\tan A(\frac{\cos^2 A-\sin^2 A}{\cos^2 A-\sin^2 A})$                   

$=\tan A$              

证毕。    

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更新于： 2022年10月10日

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