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法学证明以下三角恒等式：\( \frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\tan A \)
待办事项
我们需要证明\( \frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\tan A \).
解答
我们知道，
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.....(i)
$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(ii)
因此，
$\frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\frac{\sin A(1-\sin^2 A)}{\cos A(2\cos^2 A-1)}$
$=\tan A(\frac{1-2\sin^2 A}{2\cos^2 A-1})$ [由(i)]
$=\tan A(\frac{\cos^2 A+\sin^2 A-2\sin^2 A}{2\cos^2 A-\cos^2 A-\sin^2 A})$ [由(ii)]
$=\tan A(\frac{\cos^2 A-\sin^2 A}{\cos^2 A-\sin^2 A})$
$=\tan A$
证毕。
更新于： 2022年10月10日
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