证明以下三角恒等式：\( \sin ^{2} A \cot ^{2} A+\cos ^{2} A \tan ^{2} A=1 \)

待办事项

我们需要证明\( \sin ^{2} A \cot ^{2} A+\cos ^{2} A \tan ^{2} A=1 \)。

解答

我们知道，

$\cot^2 A=\frac{\cos ^{2} A}{\sin^2 A}$.....(i)

$\tan^2 A=\frac{\sin ^{2} A}{\cos^2 A}$.....(ii)

$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(iii)

因此，

$\sin ^{2} A \cot ^{2} A+\cos ^{2} A \tan ^{2} A=\sin ^{2} A(\frac{\cos ^{2} A}{\sin^2 A})+\cos ^{2} A(\frac{\sin ^{2} A}{\cos^2 A}) $                 [根据 (i) 和 (ii)]

$=\cos ^{2} A+\sin^2 A$                         

$=1$                          [根据 (iii)]

证毕。   

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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