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法律研究如果\( \sec A=\frac{5}{4} \)，验证\( \frac{3 \sin A-4 \sin ^{3} A}{4 \cos ^{3} A-3 \cos A}=\frac{3 \tan A-\tan ^{3} A}{1-3 \tan ^{2} A} \)
已知
$sec\ A = \frac{5}{4}$。
要求
我们需要验证\( \frac{3 \sin A-4 \sin ^{3} A}{4 \cos ^{3} A-3 \cos A}=\frac{3 \tan A-\tan ^{3} A}{1-3 \tan ^{2} A} \)。
解：
在直角三角形ABC中，∠B为直角，设$sec\ A=\frac{5}{4}$。
我们知道：
在以B为直角的直角三角形ABC中：
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数定义：
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
这里：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (5)^2=(4)^2+BC^2$
$\Rightarrow BC^2=25-16$
$\Rightarrow BC=\sqrt{9}=3$
因此：
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$
这意味着：
考虑左边 (LHS)：
$\frac{3 \sin A-4 \sin ^{3} A}{4 \cos ^{3} A-3 \cos A}=\frac{3\left(\frac{3}{5}\right) -4\left(\frac{3}{5}\right)^{3}}{4\left(\frac{4}{5}\right)^{3} -3\left(\frac{4}{5}\right)}$
$=\frac{\frac{9}{5} -4\left(\frac{27}{125}\right)}{4\left(\frac{64}{125}\right) -\left(\frac{12}{5}\right)}$
$=\frac{\frac{9}{5} -\left(\frac{108}{125}\right)}{\left(\frac{256}{125}\right) -\left(\frac{12}{5}\right)}$
$=\frac{\frac{9( 25) -108}{125}}{\frac{256-12( 25)}{125}}$
$=\frac{225-108}{256-300}$
$=\frac{117}{-44}$
$=\frac{-117}{44}$
考虑右边 (RHS)：
$\frac{3 \tan A-\tan ^{3} A}{1-3 \tan ^{2} A}=\frac{3\left(\frac{3}{4}\right) -\left(\frac{3}{4}\right)^{3}}{1-3\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{9}{4} -\left(\frac{27}{64}\right)}{1-\left(\frac{27}{16}\right)}$
$=\frac{\frac{9( 16) -27}{64}}{\frac{16-27}{16}}$
$=\frac{144-27}{4( -11)}$
$=\frac{117}{-44}$
$=\frac{-117}{44}$
LHS = RHS
证毕。
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