如果$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}$的值。

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已知

$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

要求

我们必须找到$\frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}$的值。

解答：  

假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$cos\ A = \frac{\sqrt3}{2}$。

我们知道，

在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (2)^2=(\sqrt3)^2+BC^2$

$\Rightarrow BC^2=4-3$

$\Rightarrow BC=\sqrt{1}=1$

因此，

$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$

 $tan\ A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt3}$  

这意味着，

$\frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt3}}+\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}$

$=\sqrt{3}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt3}{2}}$

$=\frac{\sqrt3}{1}+\frac{1}{2+\sqrt3}$

$=\frac{\sqrt3(2+\sqrt3)+1(1)}{2+\sqrt3}$

$=\frac{2\sqrt3+3+1}{2+\sqrt3}$

$=\frac{2(2+\sqrt3)}{2+\sqrt3}$

$=2$

$\frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}$的值为$2$。