证明以下三角恒等式：$\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}+\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=2 \operatorname{cosec} A$

待办事项

我们需要证明$\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}+\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=2 \operatorname{cosec} A$.

解答

我们知道，

$\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$......(ii)

因此，

$\sqrt{\frac{1-\cos \mathrm{A}}{1+\cos \mathrm{A}}} +\sqrt{\frac{1+\cos \mathrm{A}}{1-\cos \mathrm{A}}}=\sqrt{\frac{(1-\cos A)(1-\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)}}+\sqrt{\frac{(1+\cos A)(1+\cos A)}{(1-\cos A)(1+\cos A)}}$     (对分母进行有理化)

$=\sqrt{\frac{(1-\cos A)^{2}}{1-\cos ^{2} A}}+\sqrt{\frac{(1+\cos A)^{2}}{1-\cos ^{2} A}}$

$=\sqrt{\frac{(1-\cos A)^{2}}{\sin ^{2} A}}+\sqrt{\frac{(1+\cos A)^{2}}{\sin ^{2} A}}$

$=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1+\cos A}{\sin A}$

$=\frac{1-\cos A+1+\cos A}{\sin A}$

$=\frac{2}{\sin A}$

$=2 \operatorname{cosec} A$

证毕。   

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更新于: 2022年10月10日

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