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法律研究如果 $tan\ θ = \frac{a}{b}$，求 $\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值。
已知
$tan\ θ = \frac{a}{b}$。
要求
我们必须找到 $\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值。
解答：
假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 为直角，$\ tan\ \theta = tan\ A = \frac{a}{b}$。
我们知道，
在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根据勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数的定义，
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
这里，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(b)^2+(a)^2$
$\Rightarrow AC^2=b^2+a^2$
$\Rightarrow AC=\sqrt{a^2+b^2}$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
这意味着，$\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}= \frac{\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} +\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} -\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}$
$=\frac{\frac{b+a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{b-a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}$
$=\frac{a+b}{b-a}$
$\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值为 $\frac{a+b}{b-a}$。
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