如果 $cot\ θ = \frac{7}{8}$，求值
(i) $\frac{(1+sin\ θ)(1−sin\ θ)}{(1+cos\ θ)(1−cos\ θ)}$
(ii) $cot^2\ θ$

需要做的事情

我们需要求值

$\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}$.

(ii) $cot^2\ θ$

解答：  

(i) 我们知道，

在一个直角三角形 $ABC$ 中，其中 $\angle B$ 为直角，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

这里，

令 $cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{7}{8}$

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(7)^2+(8)^2$

$\Rightarrow AC^2=49+64$

$\Rightarrow AC=\sqrt{113}$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{\sqrt{113}}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{\sqrt{113}}$

 $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{( 1+\frac{8}{\sqrt{113}})( 1-\frac{8}{\sqrt{113}})}{( 1+\frac{7}{\sqrt{113}})( 1-\frac{7}{\sqrt{113}})}$

$=\frac{( 1)^{2} -(\frac{8}{\sqrt{113}})^{2}}{( 1)^{2} -(\frac{7}{\sqrt{113}})^{2}}$

$=\frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}}$

$=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}$

$=\frac{49}{64}$

因此，  $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{49}{64}$. 

(ii) 我们知道，

$a^2=(a)^2$

因此，

$cot^2 \theta=(cot \theta)^2$

$=(\frac{7}{8})^2$

$=\frac{7^2}{8^2}$

$=\frac{49}{64}$

因此， $cot^2 \theta=\frac{49}{64}$. 

教程点

更新于： 2022年10月10日

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