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法律如果 $cot\ θ = \frac{7}{8}$，求值
(i) $\frac{(1+sin\ θ)(1−sin\ θ)}{(1+cos\ θ)(1−cos\ θ)}$
(ii) $cot^2\ θ$
需要做的事情
我们需要求值
\( \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \).
(ii) $cot^2\ θ$
解答：
(i) 我们知道，
在一个直角三角形 $ABC$ 中，其中 $\angle B$ 为直角，
根据勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数的定义，
$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
这里，
令 $cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{7}{8}$
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(7)^2+(8)^2$
$\Rightarrow AC^2=49+64$
$\Rightarrow AC=\sqrt{113}$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{\sqrt{113}}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{\sqrt{113}}$
$\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{( 1+\frac{8}{\sqrt{113}})( 1-\frac{8}{\sqrt{113}})}{( 1+\frac{7}{\sqrt{113}})( 1-\frac{7}{\sqrt{113}})}$
$=\frac{( 1)^{2} -(\frac{8}{\sqrt{113}})^{2}}{( 1)^{2} -(\frac{7}{\sqrt{113}})^{2}}$
$=\frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}}$
$=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}$
$=\frac{49}{64}$
因此， $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{49}{64}$.
(ii) 我们知道，
$a^2=(a)^2$
因此，
$cot^2 \theta=(cot \theta)^2$
$=(\frac{7}{8})^2$
$=\frac{7^2}{8^2}$
$=\frac{49}{64}$
因此， $cot^2 \theta=\frac{49}{64}$.
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