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法学如果 $cos θ=\frac{12}{13}$，证明 $sin θ (1 – tan θ)=\frac{35}{156}$。
已知
$cos θ=\frac{12}{13}$
要求
我们必须证明 $sin θ (1 – tan θ)=\frac{35}{156}$。
解：
设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$cos\ \theta = cos\ A=\frac{12}{13}$。
我们知道：
在以 B 为直角的直角三角形 ABC 中，
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数定义：
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
这里，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (13)^2=(12)^2+BC^2$
$\Rightarrow BC^2=169-144$
$\Rightarrow BC=\sqrt{25}=5$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}$
这意味着，
让我们考虑左边(LHS)，
$sin\ \theta(1-tan\ \theta)=\frac{5}{13}(1-\frac{5}{12})$
$=\frac{5}{13}(\frac{12-5}{12})$
$=\frac{5}{13} \times \frac{7}{12}$
$=\frac{35}{156}$
$=$ 右边(RHS)
证毕。
更新于：2022年10月10日
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