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法学如果 $3\ cot\ \theta = 2$，求 $\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}$ 的值。
已知
$3\ cot\ \theta = 2$。
求解
我们需要求 $\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}$ 的值。
解：
设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ cot\ \theta = cot\ A$。
$3\ cot\ \theta = 2$
$cot\ \theta = cot\ A= \frac{2}{3}$
我们知道：
在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中：
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数定义：
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$
这里：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(2)^2+(3)^2$
$\Rightarrow AC^2=4+9$
$\Rightarrow AC=\sqrt{13}$
因此：
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{13}}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{13}}$
这意味着：
$\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}=\frac{4\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) -3\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}{2\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) +6\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}$
$=\frac{\frac{12-6}{\sqrt{13}}}{\frac{6+12}{\sqrt{13}}}$
$=\frac{6}{18}$
$=\frac{1}{3}$
$\frac{4sin\ θ-3cos\ θ}{2sin\ θ+6cos\ θ}$ 的值为 $\frac{1}{3}$。
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