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法律在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，如果 $\tan\ A = \frac{1}{\sqrt3}$，求
(i) $sin\ A\ cos\ C + cos\ A\ sin\ C$
(ii) $cos\ A\ cos\ C - sin\ A\ sin\ C$
解题步骤
我们需要求下列的值
(i) $sin\ A\ cos\ C + cos\ A\ sin\ C$。
(ii) $cos\ A\ cos\ C - sin\ A\ sin\ C$。
解：
$\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
这意味着，
$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
我们知道，
在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根据勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数的定义，
$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$sin\ C=\frac{对边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$cos\ C=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
这里，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(1)^2+(\sqrt3)^2$
$\Rightarrow AC^2=1+3$
$\Rightarrow AC=\sqrt{4}=2$
因此，
$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$
$cos\ A=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$
$sin\ C=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$
$cos\ C=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$
这意味着，
(i) $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$
$=\frac{4}{4}$
$=1$
(ii) $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}-\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
$=0$
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