在直角三角形\( \triangle A B C \)中，\( \angle A \)为直角，如果\( \tan C=\sqrt{3} \)，求\( \sin B \cos C+\cos B \sin C \)的值。

 已知

在直角三角形\( \triangle A B C \)中，\( \angle A \)为直角，\( \tan C=\sqrt{3} \)。

要求

我们要求\( \sin B \cos C+\cos B \sin C \)的值。

解：  

在直角三角形 $ABC$ 中，$ \angle A $ 为直角，$tan\ C = \sqrt3$。


我们知道，

在以 $A$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理，

$BC^2=AC^2+AB^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ B=\frac{对边}{斜边}=\frac{AC}{BC}$

$cos\ B=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{BC}$

$sin\ C=\frac{对边}{斜边}=\frac{AB}{BC}$

$cos\ C=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{BC}$

这里，

$\tan C=\sqrt{3}=\frac{\sqrt3}{1}$

$BC^2=AC^2+AB^2$

$\Rightarrow BC^2=(1)^2+(\sqrt3)^2$

$\Rightarrow BC^2=1+3$

$\Rightarrow BC=\sqrt{4}=2$

因此，

$sin\ B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$

$cos\ B=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}$

$sin\ C=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}$

$cos\ C=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$

这意味着，

$\sin B \cos C+\cos B \sin C=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}$

$=\frac{1}{4}+\frac{(\sqrt3)^2}{4}$

$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

$=\frac{1+3}{4}$

$=\frac{4}{4}$

$=1$

$\sin B \cos C+\cos B \sin C$ 的值为 $1$。

更新于: 2022年10月10日

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