如果\( A, B, C \)是三角形\( ABC \)的内角，证明：
\( \sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2} \)

已知

\( A, B, C \)是三角形\( ABC \)的内角。

要证明

我们需要证明\( \sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2} \)。

解答： 

我们知道：

$\sin\ (90^{\circ}- \theta) = \cos\ \theta$

三角形内角和为$180^{\circ}$。

这意味着：

$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$

$\Rightarrow \frac{\angle A+\angle B+\angle C}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}$

$\Rightarrow \frac{\angle A}{2}+ \frac{\angle B}{2}+ \frac{\angle C}{2}=90^{\circ}$

因此：

$\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\sin (\frac{B}{2}+\frac{C}{2})$

$=\sin (90^{\circ}-\frac{A}{2})$

$=\cos \frac{A}{2}$

证毕。 

教程点

更新于：2022年10月10日

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