如果\( A, B, C \)是三角形\( \triangle A B C \)的内角，证明：\( \tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2} \)

已知

\( A, B, C \)是三角形\( A B C \)的内角。

要求

我们需要证明\( \tan \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cot \frac{A}{2} \)。

解答：  

我们知道，

$tan\ (90^{\circ}- \theta) = cot\ \theta$

三角形内角和为 $180^{\circ}$。

这意味着，

$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$

$\Rightarrow \frac{\angle A+\angle B+\angle C}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}$

$\Rightarrow \frac{\angle A}{2}+ \frac{\angle B}{2}+ \frac{\angle C}{2}=90^{\circ}$

因此，

$\tan \left(\frac{B+C}{2}\right)=\tan (\frac{B}{2}+\frac{C}{2})$

$=\tan (90^{\circ}-\frac{A}{2})$

$=\cot \frac{A}{2}$

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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