如果 $2^{a}=3^{b}=6^{c}$，则证明 $c=\frac{a b}{a+b}$

已知： $2^{a}=3^{b}=6^{c}$ 

求证： $c=\frac{a b}{a+b}$

解答

设 $2^a=3^b=6^c=k$

所以，$2^a=k$

⇒$k^{\frac{1}{a}}=2$---------------[i].

且 $3^b=k$

⇒$k^{\frac{1}{b}}=3$----------------[ii]

.

且 $6^c=k$

⇒$k^{\frac{1}{c}}=6$-----------------[iii].

我们知道 $6=2\times3$

现在代入 2, 3 和 6

$k^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=k^{\frac{1}{c}}$

所以，$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

⇒$\frac{1}{c} = \frac{b+a}{ ab}$

⇒$c=\frac{ab }{ a+b}$ 证毕

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更新于： 2022年10月10日

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