证明 $\frac{a \sqrt{b}-b \sqrt{a}}{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}}=\frac{1}{a-b}(a+b-2 \sqrt{a b})$

待办事项

我们需要证明 $\frac{a \sqrt{b}-b \sqrt{a}}{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}}=\frac{1}{a-b}(a+b-2 \sqrt{a b})$.

解答

左边 = $\frac{a \sqrt{b}-b \sqrt{a}}{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}}$

为了分解分母，用 $a \sqrt{b}-b \sqrt{a}$ 乘以分子分母。

左边

$\frac{a \sqrt{b}-b \sqrt{a}}{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}} = \frac{(a \sqrt{b}-b \sqrt{a}) \times (a \sqrt{b}-b \sqrt{a})}{(a \sqrt{b}+b \sqrt{a}) \times (a \sqrt{b}-b \sqrt{a})}$

$=\frac{(a \sqrt{b}-b \sqrt{a})^2}{(a\sqrt{b})^2-(b\sqrt{a})^2}$

$= \frac{a^2b + b^2a - 2ab\sqrt{ab}}{a^2b-b^2a}$

$= \frac{ab(a+b-2\sqrt{ab})}{ab(a-b)}$

$=\frac{1}{a-b}(a+b-2 \sqrt{a b})$

$=$ 右边

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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